задача о красном треугольнике

[raf_sh]

Нашел задачку в интернете. ABCD - параллелограмм. Площади желтых участков показаны на рисунке, надо найти площадь красного треугольника.
Написано, что один китайский пятиклассник (а это задачка для них, но одаренных) нашел решение за одну минуту. Мне, увы, понадобилось минуты две с половиной...

Comments

[ljreader2.livejournal.com]

Если ребенок дал ответ, то он не знал точной цифры, а используя ножницы сравнил известные площади треугольников. Красный треугольник будет больше треугольника площадью 8, но меньше треугольника площадью 10 ,то есть ответ ребенка - 9.

[raf-sh.livejournal.com]

Есть довольно простое геометрическое решение, доступное хорошему ученику того возраста. Надо только сообразить.

[nebotticelli-xl.livejournal.com]

[yurakolotov.livejournal.com]

Ответ 9, но чтобы это было тривиально...
Если вы это строго доказали за 2.5 минуты, снимаю шляпу, которой отродясь не носил.

(Вообще-то не верится, что пятикласник, даже китайский, может на раз сообразить, что площадь AGD равна половине ABCD).

[raf-sh.livejournal.com]

Не надо половины, надо знать только формулу площади треугольника (например). Я вообще-то в школе четыре раза подряд был чемпионом области по математике, с 7 по 10 классы... :)

[yurakolotov.livejournal.com]

А логические задачки у ака-хумана видели? Все три выглядят простенькими, но одна с харррошим, как сказал бы б. Пампа, подвохом, а ещё одна допускает два нетривиальных решения (в дополнение к тривиальному).

[raf-sh.livejournal.com]

aka-human? Такого пока не знаю.

[yurakolotov.livejournal.com]

https://aka-human.livejournal.com/951856.html

Вообще его ЖЖ рекомендуется.

[raf-sh.livejournal.com]

Вижу, там политики многовато. Это мне ни к чему, я сам политик, нервы надо беречь :)

[raf-sh.livejournal.com]

С еще более раннего детства нэнавижу логические таблицы. Проблема с ними в том, что они всегда в конце концов заполняются, и это скучно. :)

[yurakolotov.livejournal.com]

Согласен.
Но тут в каждой из трёх задач есть изюминка. Или, как минимум, таракан.

[raf-sh.livejournal.com]

Впрочем, половина тоже пригождается. Вот условие о дополнительной параллельности было лишним, я его убрал.

[yurakolotov.livejournal.com]

Что-то не понимаю, как без него...
Если нельзя предположить, что AED = FCB, то есть только разделение ABCD на три треугольника.
Что я упускаю?

Упс, уже нашёл! Да, красиво. Почти как обрезание.

Нет, не работает.
Два полных разделения параллелограма дают одно и то же уравнение.

ABG + DCG = ADG
ADE + EFB = DEF + FBC

Это не два разных равенства, а одно и то же, увы.
Так что параллельность, кажется, нужна.

[raf-sh.livejournal.com]

https://raf-sh.livejournal.com/1621496.html?thread=15495672#t15495672

[yurakolotov.livejournal.com]

Я же написал, что ABG + DCG = ADG
Но это всего одно равенство, его одного недостаточно.
Другое равенство получалось как раз из того, что ADE = CBF.

[raf-sh.livejournal.com]

1) Площадь AGD = (площадь ADE) + (площадь EFB) (т. к. левая и правая часть равенства суть половины площади ABCD, независимо от положения точек E, F, G).

2) Подставляем в это равенство площади треугольников, собранных из кусочков (см. добавленный второй чертеж):

(Y + 79 + Z + 10) = (X + Y) + (72 + Z + 8).

3) Y и Z слева и справа взаимно уничтожаются, получаем:

79 + 10 = X + 72 + 8; 89 = X + 80, отсюда X = 9.

[yurakolotov.livejournal.com]

Ну знаете ли... :(
Никогда не умел в геометрию, увы мне.

[raf-sh.livejournal.com]

:)

[(Anonymous)]

Прошу прощения за спойлер, но вроде бы решение устроено так: Ломаная AGD делит площадь параллелограмма пополам (слева и справа), и ломаная DEFB делит площадь параллелограмма пополам (сверху и снизу). Соответственно, площадь слева снизу (79+10) тавна площади справа сверху (72+8+?), а значит ?=9. Формула для площади треугольника не пригодилась, а параллельность DE и FB очень даже нужна.

alevaj

[raf-sh.livejournal.com]

alevaj, а где Вы использовали параллельность DE и FB? Вы скрыто использовали как раз формулы площади треугольников AGD, ADE, EFB. Площадь EFB от расположения точки F не зависит, в том-то и дело. :)

[(Anonymous)]

Извините, я свой аккаунт забросил и пароль от него забыл, поэтому выступаю псевдоанонимно.

Параллельность DE и FB нужна как раз для того, чтобы не знать формулу площади треугольника. В этом решении площадь - это любая аддитивная функция фигуры инвариантная относительно движений. При таком определении выполняется утверждение о том, что диагональ делит площадь параллелограмма пополам. Из него следует все остальное.

alevaj

[raf-sh.livejournal.com]

alevaj, а почему нам надо не знать формулу площади треугольника? Ее в школе учат рано. С ней лишнее условие о параллельности-то как раз и не нужно. Площадь AGD = (площадь ADE) + (площадь EFB) , независимо от положения точек E, F и G. И всё.

[(Anonymous)]

Я с вашим утверждением не спорю, просто говорю о другом.

alevaj

[raf-sh.livejournal.com]

alevaj, ОК. Все-таки лишние условия математическую задачу не украшают, как и шахматную задачу лишние фигуры.